Combinatoria

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La combinatoria ye una caña de la matemática perteneciente al área de matemátiques discretes qu'estudia la enumeración, construcción y esistencia de propiedaes de configuraciones que satisfaen ciertes condiciones establecíes. Amás, estudia les ordenaciones o agrupaciones d'un determináu númberu d'elementos.

Los aspeutos de la combinatoria inclúin cuntar les estructures d'un tipu y tamañu dau (combinatories enumerativas), decidir cuándo pueden cumplise ciertos criterios y construyir y analizar oxetos que cumplan los criterios (como nos diseños combinatorios y la teoría de matroides) atopar oxetos "más grandes", "más pequeños" o "óptimos" (combinatoria estrema y optimización combinatoria), estudiar estructures combinatories surdíes nun contestu alxebraicu, o aplicar téuniques alxebraiques a problemes combinatorios (combinatoria alxebraica).

Los problemes combinatorios surden en munches árees de la matemática pura, especialmente en álxebra, teoría de probabilidaes, topoloxía y xeometría, y la combinatoria tamién tien munches aplicaciones na optimización matemática, la informática, la teoría ergódica y la física estadística.

Munches cuestiones combinatoriales fueron históricamente consideraes aislladamente, dando una solución fayadiza a un problema que surde en dalgún contestu matemáticu. A finales del sieglu XX, sicasí, desenvolviéronse métodos teóricos poderosos y xenerales, convirtiendo la combinatoria nuna caña independiente de les matemátiques por derechu propiu. Una de les partes más antigües y accesibles de la combinatoria ye la teoría de grafos, que tamién tien numberoses conexones naturales a otres árees. La combinatoria utilizar con frecuencia n'informática pa llograr fórmules y estimaciones nel analís d'algoritmos.

== Combinaciones ensin repetición Dau un conxuntu de n elementos estremables, llámase combinación ensin repetición de p elementos, con p < n, escoyíos ente los n, a cualquier subconxuntu de p elementos distintos del conxuntu.

El númberu de combinaciones ensin repetición de p elementos escoyíos ente los n nótase davezu

${\displaystyle C_{p}^{n}={\binom {n}{p}}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}}$ .

Exemplu

Un estudiante tien de responder a seis de los diez preguntes de les que consta un exame, ¿ente cuántos grupos d'entrugues distintes puede escoyer?

Trátase de determinar el númberu de grupos distintos de seis preguntes escoyíes del conxuntu de los diez, sabiendo que dos grupos coles mesmes entrugues, entá en distintu orde, coinciden. Nesti casu, el númberu de grupos d'entrugues distintos ente los que puede escoyese ye

${\displaystyle C_{6}^{10}={\binom {10}{6}}={\frac {10!}{6!4!}}=210}$

== Combinaciones con repetición Dau un conxuntu de n elementos estremables, llámase combinación con repetición de p elementos escoyíos ente los n a cualquier coleición de p elementos del conxuntu, con repeticiones eventuales de dalgunos d'ellos.

El númberu de combinaciones con repetición de p elementos escoyíos ente los n nótase davezu

${\displaystyle CR_{n}^{p}=C_{n+p-1}^{p}={\binom {n+p-1}{p}}={\frac {(n+p-1)!}{p!(n-1)!}}}$

Exemplu

¿De cuántes formes pueden escoyese simultáneamente tres boles d'una urna na qu'hai siquier tres boles blanques y trés negres indistinguibles?

Cada grupu ye una disposicion non ordenar de trés colores formada polos colores blancu y negru con repeticion de dalgún d'ellos. Por tanto, trátase de determinar el númberu de grupos de tres elementos non ordenar. Nesti casu, el númberu de formes distintes d'escoyer simultáneamente tres boles del conxuntu ye

${\displaystyle CR_{2}^{3}={\binom {4}{3}}={\frac {4!}{3!1!}}=4}$